Question

【題目】函數f（x）=lnx+ ，g（x）=ex﹣ （e是自然對數的底數，a∈R）．
（Ⅰ）求證：|f（x）|≥﹣（x﹣1）2+ ；
（Ⅱ）已知[x]表示不超過x的最大整數，如[1.9]=1，[﹣2.1]=﹣3，若對任意x1≥0，都存在x2＞0，使得g（x1）≥[f（x2）]成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） （x＞0）．

當x＞1時，f'（x）＞0，當0＜x＜1時，f'（x）＜0，

即f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，

所以，當x=1時，f（x）取得最小值，最小值為 ，

所以 ，

又 ，且當x=1時等號成立，

所以， ．

（Ⅱ）記當x≥0時，g（x）的最小值為g（x）min，當x＞0時，[f（x）]的最小值為[f（x）]min，

依題意有g（x）min≥[f（x）]min，

由（Ⅰ）知 ，所以[f（x）]min=0，則有g（x）min≥0，g'（x）=ex﹣x﹣a．

令h（x）=ex﹣x﹣a，h'（x）=ex﹣1，

而當x≥0時，ex≥1，所以h'（x）≥0，

所以h（x）在[0，+∞）上是增函數，所以h（x）min=h（0）=1﹣a．

①當1﹣a≥0，即a≤1時，h（x）≥0恒成立，即g'（x）≥0，

所以g（x）在[0，+∞）上是增函數，所以 ，

依題意有 ，解得 ，

所以 ．

②當1﹣a＜0，即a＞1時，因為h（x）在[0，+∞）上是增函數，且h（0）=1﹣a＜0，

若a+2＜e2，即1＜a＜e2﹣2，則h（ln（a+2））=a+2﹣ln（a+2）﹣a=2﹣ln（a+2）＞0，

所以x0∈（0，ln（a+2）），使得h（x0）=0，即 ，

且當x∈（0，x0）時，h（x）＜0，即g'（x）＜0；當x∈（x0，+∞）時，h（x）＞0，即g'（x）＞0，

所以，g（x）在（0，x0）上是減函數，在（x0，+∞）上是增函數，

所以 ，

又 ，所以 ，

所以 ，所以0＜x0≤ln2．

由 ，可令t（x）=ex﹣x，t'（x）=ex﹣1，當x∈（0，ln2]時，ex＞1，所以t（x）在（0，ln2]上是增函數，

所以當x∈（0，ln2]時，t（0）＜t（x）≤t（ln2），即1＜t（x）≤2﹣ln2，

所以1＜a≤2﹣ln2．

綜上，所求實數a的取值范圍是

【解析】（Ⅰ）求出導函數 （x＞0）．求出函數的最小值，利用二次函數的性質推出結果．（Ⅱ）記當x≥0時，g（x）的最小值為g（x）min，當x＞0時，[f（x）]的最小值為[f（x）]min，題目轉化為g（x）min≥[f（x）]min，h（x）=ex﹣x﹣a，h'（x）=ex﹣1，通過求解導數，①當a≤1時，求出 ，②當a＞1時，利用h（x）在[0，+∞）上是增函數，推出 ，轉化求出 ，轉化求解1＜a≤2﹣ln2．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．