Question

已知向量

a

=（1，2），

b

=（cosα，sinα），設

m

=

a

+t

b

（t為實數）．
（1）若α=

π

4

，求當|

m

|取最小值時實數t的值；
（2）若

a

⊥

b

，問：是否存在實數t，使得向量

a

-

b

和向量

m

的夾角為

π

4

，若存在，請求出t；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先把a=

π

4

代入求出向量

b

的坐標，再把|

m|

轉化為

( a +t b )2

=

5+t2+2t a • b

，把所求結論以及已知條件代入得到關于實數t的二次函數，利用配方法求出|

m|

的最小值以及實數t的值；
（2）先利用向量垂直求出|

a

-

b

|以及|

a

+t

b

|和（

a

-

b

）（

a

+t

b

），代入cos45°=

( a - b )( a +t b )

| a - b || a +t b |

，可得關于實數t的方程，解方程即可求出實數t．

解答：解：（1）因為a=

π

4

，所以

b

=（

2

2

，

2

2

），

a

•

b

=

2 3

3

，
則|

m|

=

( a +t b )2

=

5+t2+2t a • b

=

t2+3 2 t+5

=

(t+ 3 2 2 )2+ 1 2

所以當t=-

3 2

2

時，|

m|

取到最小值，最小值為

2

2

．（7分）
（2）由條件得cos45°=

( a - b )( a +t b )

| a - b || a +t b |

，
又因為|

a

-

b

|=

( a - b )2

=

6

，|

a

+t

b

|=

( a +t b )2

=

5+t2

，
（

a

-

b

）（

a

+t

b

）=5-t，則有

5-t

6 5+t2

=

2

2

，且t＜5，
整理得t²+5t-5=0，所以存在t=

-5±3 5

2

滿足條件．（14分）

點評：本題主要考查數量積表示兩個向量的夾角以及向量的模．本題的易錯點在于（

a

-

b

）（

a

+t

b

）=5-t中的t＜5，因為兩個向量的夾角為銳角，所以向量的數量積為正得t＜5．