Question

漁場中魚群的最大養殖量為m，為了保證魚群的生長空間，實際養殖量x小于m，以便留出適當的空閑量，已知魚群的年增長量y和實際養殖量與空閑率（空閑率是空閑量與最大養殖量的比值）的乘積成正比，比例系數為k（k＞0）
（I）寫出y關于x的函數關系式，并指出該函數的定義域；
（Ⅱ）求魚群年增長量的最大值．

Answer 1

分析：（I）由魚群的年增長量y噸和實際養殖量x噸與空閑率的乘積成正比，比例系數為k（k＞0）．我們根據題意求出空閑率，即可得到y關于x的函數關系式，并指出這個函數的定義域；
（II）由（I）中給出的y關于x的函數關系式，我們使用配方法，易分析出魚群年增長量的最大值．

解答：解：（I）由題意，空閑率為 1-

x

m

，
∴y=kx（1-

x

m

），定義域為（0，m）；
（II）由（1）得y=-

k

m

x2+kx=-

k

m

(x-

m

2

)2+

mk

4

，
因為 x∈（0，m），k＞0；
∴x=

m

2

時，ymax=

mk

4

．
故魚群年增長量的最大值為

mk

4

．

點評：函數的實際應用題，我們要經過析題→建模→解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（小）化問題，利用函數模型，轉化為求函數的最大（小）是最優化問題中，最常見的思路之一．