Question

漁場中魚群的最大養殖量為m噸，為保證魚群的生長，實際養殖量不能達到最大養殖量，必須留出適當的空閑量，例如最大養殖量為10噸，實際養殖量為8噸，則空閑量為2噸．已知魚群的年增長量y噸和實際養殖量x噸與空閑率的乘積成正比，比例系數為k（k＞0）．（空閑率為空閑量與最大養殖量的比值）
（1）寫出y關于x的函數表達式，并指出這個函數的定義域；
（2）求魚群年增長量的最大值及此時k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為魚群的年增長量y噸和實際養殖量x噸與空閑率的乘積成正比，比例系數為k（k＞0），所以得出解析式，根據實際情況得到定義域；
（2）因為y為開口向下的拋物線，當x=-

b

2a

時，又因為魚群的年增長量y噸和實際養殖量x噸不超過m，得到k的不等式，求出k的取值范圍即可．

解答：解：（1）由題意，空閑率為1-

x

m

，所以y=kx（1-

x

m

），定義域（0，m）．
（2）由（1）得y=kx（1-

x

m

）=-

k

m

(x-

m

2

)2+

km

4

，
因為x∈（0，m），k＞0，所以當x=

m

2

時，y_max=

km

4

．
由題意有0＜x+y＜m，即0＜

m

2

+

km

4

＜m．
因為m＞0，解得-2＜k＜2又k＞0，故k的取值范圍為（0，2）．

點評：考查學生根據實際問題選擇函數類型的能力，以及二次函數最值的求法．