Question

（2012•黃浦區一模）已知兩點A（-1，0）、B（1，0），點P（x，y）是直角坐標平面上的動點，若將點P的橫坐標保持不變、縱坐標擴大到

2

倍后得到點Q（x，

2

y）滿足

AQ

•

BQ

=1．
（1）求動點P所在曲線C的軌跡方程；
（2）過點B作斜率為-

2

2

的直線l交曲線C于M、N兩點，且滿足

OM

+

ON

+

OH

=

0

，又點H關于原點O的對稱點為點G，試問四點M、G、N、H是否共圓，若共圓，求出圓心坐標和半徑；若不共圓，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）確定向量AQ，BQ的坐標，利用

AQ

•

BQ

=1，即可得到動點P所在曲線C的軌跡方程；
（2）假設l的方程與橢圓方程聯立，利用向量知識，確定M，N，G，H的坐標，進而確定點到四點的距離相等，從而可得結論．

解答：解：（1）依據題意，有

AQ

=(x+1，

2

y)，

BQ

=(x-1，

2

y)
∵

AQ

•

BQ

=1，
∴x²-1+2y²=1．
∴動點P所在曲線C的軌跡方程是

x2

2

+y2=1．
（2）因直線l過點B，且斜率為k=-

2

2

，故有l：y=-

2

2

(x-1)．
聯立方程組

x2 2 +y2=1 y=- 2 2 (x-1)

，得2x²-2x-1=0．
設兩曲線的交點為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=1，y₁+y₂=

2

2

．
又

OM

+

ON

+

OH

=

0

，點G與點H關于原點對稱，
于是，可得點H（-1，-

2

2

）、G（1，

2

2

）．
若線段MN、GH的中垂線分別為l₁和l₂，則有l₁：y-

2

4

=

2

（x-

1

2

），l₂：y=-

2

x．
聯立方程組，解得l₁和l₂的交點為O₁（

1

8

，-

2

8

）．
因此，可算得|O₁H|=

( 9 8 )2+( 3 2 8 )2

=

3 11

8

，|O₁M|=

(x1- 1 8 )2+(y1+ 2 8 )2

=

3 11

8

．
所以，四點M、G、N、H共圓，圓心坐標為O₁（

1

8

，-

2

8

），半徑為

3 11

8

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查四點共圓，正確運用向量知識，確定圓心坐標與半徑是關鍵．