Question

【題目】已知二次函數f（x）的最小值為﹣4，且關于x的不等式f（x）≤0的解集為{x|﹣1≤x≤3，x∈R}．

（1）求函數f（x）的解析式；

（2）求函數g（x）的零點個數．

Answer 1

【答案】（1）；（2）個零點.

【解析】

解：（1）∵f（x）是二次函數，且關于x的不等式f（x）≤0的解集為{x|﹣1≤x≤3，x∈R}，

∴f（x）＝a（x+1）（x﹣3）＝a[（x﹣1）2﹣4]（a＞0）

∴f（x）min＝﹣4a＝﹣4

∴a＝1

故函數f（x）的解析式為f（x）＝x2﹣2x﹣3

（2）g（x）4lnx﹣2（x＞0），

∴g′（x）

x，g′（x），g（x）的取值變化情況如下：

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
g′（x）	+	0	﹣	0	+
g（x）	單調增加	極大值	單調減少	極小值	單調增加

當0＜x≤3時，g（x）≤g（1）＝﹣4＜0；

又g（e5）20﹣2＞25﹣1﹣22＝9＞0

故函數g（x）只有1個零點，且零點