Question

【題目】如圖在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形，則在下列命題中正確的有 ．（填上所有正確命題的序號）
①AC⊥BD
②AC=BD
③AC∥截面PQMN
④異面直線PM與BD所成的角為45°．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：在四面體ABCD中，∵截面PQMN是正方形，∴PQ∥MN，PQ平面ACD，MN平面ACD，∴PQ∥平面ACD．
∵平面ACB∩平面ACD=AC，∴PQ∥AC，可得AC∥平面PQMN．
同理可得BD∥平面PQMN，BD∥PN．
∵PN⊥PQ，∴AC⊥BD．
由BD∥PN，
∴∠MPN是異面直線PM與BD所成的角，且為45°．
由上面可知：BD∥PN，PQ∥AC．
∴
而AN≠DN，PN=MN，
∴BD≠AC．
綜上可知：①③④都正確．
所以答案是：①③④．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用命題的真假判斷與應用和異面直線及其所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系；異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系．