Question

（2011•南昌模擬）已知

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

），且存在實(shí)數(shù)k和t，使得

x

=

a

+（t²-3）

b

，

y

=-k

a

+t

b

，且

x

⊥

y

，試求

k+t2

t

的最值．

Answer 1

分析：由

a

•

b

=0可知

a

⊥

b

，再由

x

⊥

y

，可得

x

•

y

=0，即[

a

+(t2-3)

b

]•(-k

a

+ t

b

)=0，化簡(jiǎn)得k=

t3-3t

4

k+t2

4

=

1

4

(t2+4t-3)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值

解答：解：由題意有|

a

|=

( 3 )2+(-1)2

=2，|

b

|=

( 3 2 )2+( 1 2 )2

=1
因?yàn)?span id="8gcgmyc" class="MathJye">

a

•

b

=

3

×

1

2

-1×

3

2

=0，故有

a

⊥

b

因?yàn)?span id="enay9l8" class="MathJye">

x

⊥

y

，故

x

•

y

=0
∴[

a

+(t2-3)

b

]•(-k

a

+ t

b

)=0化簡(jiǎn)得k=

t3-3t

4

k+t2

4

=

1

4

(t2+4t-3)=

1

4

(t+2)2-

7

4

當(dāng)t=-2時(shí)，

k+t2

t

有最小值為-

7

4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

a

⊥

b

?

a

•

b

=0的應(yīng)用，還考查了利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用．