設F₁、F₂分別為橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右兩個焦點．

(1)

若橢圓C上的點A(1，)到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標

(2)

設點K是(1)中所得橢圓上的動點，求線段F₁K的中點的軌跡方程

(3)

已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_pM與k_PN之積是與點P位置無關的定值．試對雙曲線－＝1寫出具有類似特性的性質，并加以證明．

答案：
解析：

(1)

　　解析：橢圓C的焦點在x軸上，由橢圓上的點A到F₁、F₂兩點的距離之和是4，得2a＝4，即a＝2．

　　又點A(1，)在橢圓上，因此＋＝1，得b²＝3，于是c²＝1．

　　所以橢圓C的方程為＋＝1，焦點為F₁(－1，0)，F₂(1，0)．

(2)

　　設橢圓C上的動點為K(x₁，y₁)，線段F₁K的中點Q(x，y)滿足x＝，y＝，即x₁＝2x＋1，y₁＝2y．

　　因此＋＝1，即(x＋)²＋＝1為所求的軌跡方程．

(3)

　　類似的性質為：若M、N是雙曲線－＝1上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值．

　　設點M的坐標為(m，n)，則點N的坐標為(－m，－n)，其中－＝1．

　　又設點P的坐標為(x，y)，由k_PM＝，k_PN＝，得k_PM·k_PN＝·＝，將y²＝x²－b²，n²＝m²－b²代入得k_PM·k_PN＝．

　　點評：本題主要考查橢圓的基本知識及求動點軌跡方程的常用方法．第(3)問對考生的聯想、類比、邏輯思維及運算能力都有較高的要求，根據提供的信息，讓考生通過類比自己找到所證問題，這是高考數學命題的方向．應引起注意．

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