Question

過(guò)雙曲線(xiàn)C：的右頂點(diǎn)A作兩條斜率分別為k₁、k₂的直線(xiàn)AM、AN交雙曲線(xiàn)C于M、N兩點(diǎn)，其k₁、k₂滿(mǎn)足關(guān)系式k_1•k₂=-m²且k₁+k₂≠0，k₁＞k₂
（1）求直線(xiàn)MN的斜率；
（2）當(dāng)m²=時(shí)，若∠MAN=60°，求直線(xiàn)MA、NA的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知的雙曲線(xiàn)方程及雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可以求得A點(diǎn)坐標(biāo)，由于已知過(guò)A作兩條斜率分別為k₁、k₂的直線(xiàn)AM、AN交雙曲線(xiàn)C于M、N兩點(diǎn)，把直線(xiàn)MA的方程與雙曲線(xiàn)的方程進(jìn)行聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及x_A=1，又k₁k₂=-m²可以M，N點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系式，進(jìn)而求解；
（2）由于∠MAN=60°，利用到角的定義可以知道AM到AN的角為60°或AN到AM的角為60°，進(jìn)而得到兩直線(xiàn)的斜率的關(guān)系等式，結(jié)合已知的兩斜率的關(guān)系等式，聯(lián)立解處斜率的數(shù)值，再利用直線(xiàn)的方程即可求得直線(xiàn)的方程．
解答：解：（1）C：的右頂點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0）
設(shè)MA直線(xiàn)方程為y=k₁（x-1），代入m²x²-y²-m²=0中，整理得（m²-k₁）x²+2k₁²x-（k₁²+m²）=0）
由韋達(dá)定理可知，而x_A=1，又k₁k₂=-m²
∴
于是
由同理可知，于是有y_m=y_n
∴MN∥x抽，從而MN直線(xiàn)率k_MN=0．
（2）∵∠MAN=60°，說(shuō)明AM到AN的角為60°或AN到AM的角為60°．
則或，
又，k₁＞k₂
從而
則求得或
因此MA，NA的直線(xiàn)的方程為y=x-1，
或?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183001055036821/SYS201310241830010550368019_DA/12.png">，y=-（x-1）．
點(diǎn)評(píng)：（1）此問(wèn)考查了雙曲線(xiàn)的右定點(diǎn)的定義，直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立后根與系數(shù)的關(guān)系，還考查了直線(xiàn)的斜率公式；
（2）此問(wèn)考查了到角的定義及到角的公式，還考查了方程的思想，直線(xiàn)的點(diǎn)斜式求出直線(xiàn)的方程．