Question

過雙曲線C：的右頂點A作兩條斜率分別為k₁、k₂的直線AM、AN交雙曲線C于M、N兩點，其k₁、k₂滿足關系式k_1•k₂=-m²且k₁+k₂≠0，k₁＞k₂
（1）求直線MN的斜率；
（2）當m²=時，若∠MAN=60°，求直線MA、NA的方程．

Answer 1

解：（1）C：的右頂點A坐標為（1，0）
設MA直線方程為y=k₁（x-1），代入m²x²-y²-m²=0中，整理得（m²-k₁）x²+2k₁²x-（k₁²+m²）=0）
由韋達定理可知，而x_A=1，又k₁k₂=-m²
∴
于是
由同理可知，于是有y_m=y_n
∴MN∥x抽，從而MN直線率k_MN=0．
（2）∵∠MAN=60°，說明AM到AN的角為60°或AN到AM的角為60°．
則或，
又，k₁＞k₂
從而
則求得或
因此MA，NA的直線的方程為y=x-1，
或為，y=-（x-1）．
分析：（1）由已知的雙曲線方程及雙曲線的性質可以求得A點坐標，由于已知過A作兩條斜率分別為k₁、k₂的直線AM、AN交雙曲線C于M、N兩點，把直線MA的方程與雙曲線的方程進行聯立，利用韋達定理及x_A=1，又k₁k₂=-m²可以M，N點的坐標的關系式，進而求解；
（2）由于∠MAN=60°，利用到角的定義可以知道AM到AN的角為60°或AN到AM的角為60°，進而得到兩直線的斜率的關系等式，結合已知的兩斜率的關系等式，聯立解處斜率的數值，再利用直線的方程即可求得直線的方程．
點評：（1）此問考查了雙曲線的右定點的定義，直線方程與雙曲線方程聯立后根與系數的關系，還考查了直線的斜率公式；
（2）此問考查了到角的定義及到角的公式，還考查了方程的思想，直線的點斜式求出直線的方程．