Question

設點M（x，y）到直線x=4的距離與它到定點（1，0）的距離之比為2，并記點M的軌跡曲線為C．
（I）求曲線C的方程；
（II）設過定點（0，2）的直線l與曲線C交于不同的兩點E，F，且∠EOF=90°（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的值；
（III）設A（2，0），B（0，

3

）是曲線C的兩個頂點，直線y=mx（x＞0）與線段AB相交于點D，與橢圓相交于E，F兩點，求四邊形AEBF面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設曲線C上的任意一點P（x，y），則有

|x-4|

(x-1)2+y2

=2，由此能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+2，與橢圓的交點E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由

y=kx+2 3x2+4y2=12

，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，再由根的判別式和l與橢圓交于不同的兩點E，F且∠EOF=90°，得

OE

•

OF

=0，由此能夠求出直線l的斜率k的值．
（Ⅲ）

y=mx(m＞0) 3x2+4y2=12

解方程組得E(

12 3+4m2

，m

12 3+4m2

)，F(-

12 3+4m2

，-m

12 3+4m2

)，S_{四邊形AEBF}=2S_△BOE+2S_△FOA=|BO|•x₁+|AO|•y₁，由此能還應出S_{四邊形AEBF}的最大面積．

解答：解：（Ⅰ）設曲線C上的任意一點P（x，y）
則有

|x-4|

(x-1)2+y2

=2化簡得：

x2

4

+

y2

3

=1（4分）
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+2，與橢圓的交點E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）

y=kx+2 3x2+4y2=12

?（3+4k²）x²+16kx+4=0△=（16k）²-16（3+4k²）＞0?k＜-

1

2

或k＞

1

2

x1+x2=-

16k

3+4k2

，x1x2=

4

3+4k2

（6分）
因為l與橢圓交于不同的兩點E，F且∠EOF=90°得

OE

•

OF

=0，x₁x₂+y₁y₂=0x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0

4(1+k2)

3+4k2

-

32k2

3+4k2

+4=0
解得：k=±

2 3

3

（滿足k＜-

1

2

或k＞

1

2

）（8分）
（Ⅲ）

y=mx(m＞0) 3x2+4y2=12

解方程組得

x1= 12 3+4m2 y1=m 12 3+4m2

；

x2=- 12 3+4m2 y2=-m 12 3+4m2

即E(

12 3+4m2

，m

12 3+4m2

)，F(-

12 3+4m2

，-m

12 3+4m2

)S_{四邊形AEBF}=2S_△BOE+2S_△FOA=|BO|•x₁+|AO|•y₁（10分）=

3

12 3+4m2

+2m

12 3+4m2

=(

3

+2m)

12 3+4m2

=2

3(4m2+4 3 m+3) 4m2+3

=2

3(1+ 4 3 m 4m2+3

)=2

3(1+ 4 3 4m+ 3 m )

因為4m+

3

m

≥4

3

所以2

3(1+ 4 3 4m+ 3 m )

≤2

6

（當且僅當m=

3

2

時取等號）
即S_{四邊形AEBF}的最大面積為2

6

（當m=

3

2

時取等號）（12分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．