Question

設點M（x，y）到直線x=4的距離與它到定點（2，0）的距離之比為，并記點M的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點（2，0）作直線l與曲線C相交于A、B兩點，問C上是否存在點P，使得=+成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意利用兩點間的距離公式可得：，整理即可．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知l的斜率一定不為0，故不妨設l：x=my+2．代入C的方程并整理得到根與系數的關系；假設存在點P，使成立?點P的坐標（x₁+x₂，y₁+y₂）滿足橢圓的方程．又A、B在橢圓上，即滿足橢圓的方程．可得x₁x₂+2y₁y₂+4=0，代入解得m，即可得到點P的坐標．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得：，整理得C：．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知l的斜率一定不為0，故不妨設l：x=my+2．
代入C的方程，并整理得（m²+2）y²+4my-4=0，顯然△＞0．
由韋達定理有：，，①
假設存在點P，使成立，則其充要條件為：
點P的坐標為（x₁+x₂，y₁+y₂），點P在橢圓上，即．
整理得．
又A、B在橢圓上，即，．
故x₁x₂+2y₁y₂+4=0        ②
將x₁x₂=（my₁+2）（my₂+2）=m²y₁y₂+2m（y₁+y₂）+4及①代入②解得m²=2．
∴或，=2，即點P．     
所以，存在點P，使得，
這時直線l的方程為或．
點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、向量的運算、兩點間的距離公式等基本知識與基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力與計算能力．．