Question

（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）
A．（不等式選講） 若f（x）=|x-t|+|5-x|的最小值為3，則實數t的值是

 

．
B．（平面幾何選講） 已知C點在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點，DC是∠ACB的平分線交AE于點F，交AB于D點．∠ADF=

 

．
C．（極坐標與參數方程） 直線

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

（t為參數）被曲線ρ=

2

cos(θ-

π

4

)所截的弦長為

 

．

Answer 1

分析：A：首先分析題目已知不等式f（x）=|x-t|+|5-x|最小值為3，求實數t的值．考慮到根據絕對值不等式的性質，絕對值之和大于等于和的絕對值．即可求出f（x）≥|5-t|，即令|5-t|等于最小值即可解得答案．
B：根據直徑上的圓周角是直角、弦切角定理以及三角形內內角和定理等通過角的關系求解．
C：首先分析題目求的是直線被曲線截得弦長的問題，首先考慮題中直線是參數方程要先化為一般方程，而對于曲線是極坐標方程也要化為一般的直角坐標系方程，然后由點到直線距離公式求得圓心到直線的距離，再用勾股定理求解弦長即可．

解答：A解：因為根據絕對值不等式的性質可以得到
f（x）=|x-t|+|5-x|≥|（x-t）+（5-x）|=|5-t|
又已知f（x）=|x-t|+|5-x|最小值為3，
故有|5-t|=3，即可解出t=2或8．
故答案為：2或8．
B解：設∠EAC=α，根據弦切角定理，∠ABE=α．
根據三角形外角定理，∠AEC=90°+α．
根據三角形內角和定理，∠ACE=90°-2α．
由于CD是∠ACB的內角平分線，所以FCE=45°-α．（5分）
再根據三角形內角和定理，∠CFE=180°-（90°+α）-（45°-α）=45°．（7分）
根據對頂角定理，∠AFD=45°．
由于∠DAF=90°，所以∠ADF=45°．（10分）
故答案為：45°．
C解：將方程

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

（t為參數），化為普通方程3x+4y+1=0，
將方程 ρ=

2

cos(θ-

π

4

)化為普通方程x²+y²-x-y=0，
此方程表示圓心為 （

1

2

，

1

2

），半徑為

2

2

的圓．
則圓心到直線的距離 d=

1

10

弦長=2

r2-d2

=2

1 2 - 1 100

=

7

5

故答案為：

7

5

．

點評：A此題主要考查絕對值不等式的性質“絕對值之和大于和的絕對值”的應用，避免了分類討論去絕對值的繁瑣，有一定的技巧性，屬于中檔題目．
B本題的涉及很獨到，試題涉及成動態的，即點C是可變的，在這個動態中求解其中的一個不變量．解決這類試題要善于抓住主要的變化關系，如本題中主要的變量就是∠AEC，抓住這個變量后，其余的角可以使用這個變量進行表達，通過各個角的關系證明求解的目標與這個變量沒有關系．
C此題主要考查直線的參數方程化一般方程和圓的極坐標方程化一般方程的求法，其中應用到點到直線距離公式及勾股定理，屬于綜合性的試題有一定的難度．