Question

（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
A．如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，PA是⊙O的切線，PB交AC于點E，交⊙O于點D．若PA=PE，∠ABC=60°，PD=1，PB=9，則EC=

4

．
B． P為曲線C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

，（θ為參數）上一點，則它到直線C₂：

x=1+2t y=2

（t為參數）距離的最小值為

1

．
C．不等式|x²-3x-4|＞x+1的解集為

{x|x＞5或x＜-1或-1＜x＜3}

．

Answer 1

分析：A．利用切割線定理結合題中數據，可得PA=3，再由弦切角定理結合有一個角為60°的等腰三角形是正三角形，得到PE=AE=3，最后由相交弦定理可得BE•DE=AE•CE，從而求出EC=4；
B．將曲線C₁和直線C₂都化成普通方程，發現曲線C₁是以（1，0）為圓心，半徑為1的圓，求出圓心到直線的距離，再減去半徑即可得到距離的最小值；
C．對不等式分x＜-1和x≥-1兩種情況加以討論，分別解所得不等式，再將所得解集取并集即可得到原不等式的解集．

解答：解：A．∵PA是圓O的切線，∴PA²=PD•PB=9，可得PA=3
∵△ADE中，∠PAC=∠ABC=60°，PE=PA，∴△APE是正三角形，可得PE=AE=PA=3
∴BE=PB-PE=6，DE=PE-PD=2
∵圓O中，弦AC、BD相交于E，∴BE•DE=AE•CE，可得6×2=3EC，EC=4
B．曲線C₁化成普通方程，得（x-1）²+y²=1．再將C₂化成普通方程，得y=2（x∈R）
∴曲線C₁是以（1，0）為圓心，半徑為1的圓，圓上動點P到直線y=2的距離最小值為|2-0|-1=1
C．①當x＜-1時，不等式|x²-3x-4|＞x+1恒成立，
②當x≥-1時，不等式|x²-3x-4|＞x+1等價于x²-3x-4＞x+1或x²-3x-4＜-x-1
解之得：-1＜x＜3或x＞5
綜上所述，原不等式的解集為：{x|x＞5或x＜-1或-1＜x＜3}
故答案為：4   1   {x|x＞5或x＜-1或-1＜x＜3}

點評：本題以圓中的比例線段、曲線的參數方程和含有絕對值不等式的解法為載體，著重考查了平面幾何證明、直線與圓的位置關系和絕對值不等式的解法等知識，屬于基礎題．