Question

已知是偶函數.
(1)求的值；
(2)證明:對任意實數,函數的圖像與直線最多只有一個交點；
(3)設若函數的圖像有且只有一個公共點,求實數的取值范圍.

Answer 1

(1)；(2)證明見解析；(3).

試題分析：(1)由，并進行檢驗；(2)原問題等價于證明方程組
最多只有一組解，即證方程最多只有一個實根，利用反證法證明該方程不可能有兩個實根，所以原命題得證；(3)問題轉化為方程:只有唯一解，令，則可化為關于的方程：只有唯一正根，注意討論二次項系數為0和不為0兩種情形，當二次項系數不為0時，利用二次函數根的判定方法，最終可以得到所求實數的取值范圍.
試題解析：解：(1)由 經檢驗的滿足題意；  2分
(2)證明:即證方程組最多只有一組解，
即證方程最多只有一個實根.            4分
下面用反證法證明:
假設上述方程有兩個不同的解則有：
.
但時，不成立.
故假設不成立.從而結論成立.                 7分
(3)問題轉化為方程:只有唯一解.         9分
令，則可化為關于的方程：只有唯一正根.   10分
若,則上述方程變為,無解.故          11分
若二次方程(*)兩根異號,即.此時方程(*)有唯一正根,滿足條件；   12分
若二次方程(*)兩根相等且為正,則.       13分
故的取值范圍是:.           14分