Question

【題目】教材曾有介紹：圓上的點處的切線方程為我們將其結論推廣：橢圓的點處的切線方程為在解本題時可以直接應用,已知直線與橢圓E：有且只有一個公共點.

（1）求的值；

（2）設O為坐標原點,過橢圓E上的兩點A、B分別作該橢圓的兩條切線，且與交于點M

①設，直線AB、OM的斜率分別為,求證：為定值；

②設，求△OAB面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；②．

【解析】

（1）將直線代入橢圓方程，得到的方程，由直線和橢圓相切的條件：判別式為0，解方程可得的值；

（2）①設切點，，，，可得切線，，再由代入上式，結合兩點確定一條直線，可得切點弦方程，即有的斜率，結合兩點的斜率公式，即可得證；

②由①可得的方程為，運用點到直線的距離公式和直線與橢圓方程聯立，運用韋達定理和弦長公式，求得的面積，化簡整理，運用基本不等式即可得到所求最大值．

解：（1）將直線代入橢圓方程，

可得，

由直線和橢圓相切，可得△，

解得（由；

（2）①證明：設切點，，，，

可得切線，，

由與交于點，可得，，

由兩點確定一條直線，可得的方程為，即為，

即有，，可得為定值；

②由①可得的方程為，

原點到直線的距離為，

由消去，可得，

，，

可得，

可得的面積，

設，

，

當且僅當即時，取得最大值．