Question

如圖，橢圓E：

x2

2

+y2=1的右焦點為F，過焦點F作兩條互相垂直的弦AB、CD，設弦AB、CD的中點分別為M、N．
（Ⅰ）求證：直線MN恒過定點T，并求出T的坐標；
（Ⅱ）求以AB、CD為直徑的兩圓公共弦中點的軌跡方程，并判斷定點T與軌跡的位置關系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設AB：y=k（x-1），由題意知

y=k(x-1) x2+2y2=2

?(1+kx2)x2-4k2x+2k2-2=0，M(

2k2

1+2k2

，

-k

1+2k2

)，同理N(

2

k2+2

，

k

k2+2

)，所以MN過定點（

2

3

，0），當AB的斜率不存在或為零時同樣MN過定點（

2

3

，0），所以T（

2

3

，0）．
（Ⅱ）以AB為直徑的圓M的方程為：x2+y2-

4k2

k2+2

x+

2k

k2+2

y+

k2-2

k2+2

=0同理以CD為直徑的圓N的方程為：
x2+y2-

4

1+2k2

x-

2k

1+2k2

y+

1-2k2

1+2k2

=0，由此可以判斷定點T與軌跡的位置關系．

解答：解：（Ⅰ）∵F（1，0），不妨設AB的斜率存在且不為零，
設AB：y=k（x-1）
∴

y=k(x-1) x2+2y2=2

?(1+kx2)x2-4k2x+2k2-2=0
∴M(

2k2

1+2k2

，

-k

1+2k2

)，同理N(

2

k2+2

，

k

k2+2

)，
MN直線的方程為：

y- k k2+2

k k2+2 + k 1+2k2

=

x- 2 k2+2

2 k2+2 - 2k2 1+2k2

，
變形分析可得：MN過定點（

2

3

，0），當AB的斜率不存在或為零時
同樣MN過定點（

2

3

，0），∴T（

2

3

，0）． （7分）
（Ⅱ）以AB為直徑的圓M的方程為：
x2+y2-

4k2

k2+2

x+

2k

k2+2

y+

k2-2

k2+2

=0①（9分）
同理以CD為直徑的圓N的方程為：
x2+y2-

4

1+2k2

x-

2k

1+2k2

y+

1-2k2

1+2k2

=0②（11分）
①-②得公共弦直線方程為4x+

6

1 k -k

y-5=0③
又MN直線方程x-

2

3k

(1-k2)y=

2

3

④
由③、④消去k得兩圓公共弦中點的軌跡方程為：（15分）
(x-

2

3

)(x-

5

4

)+y2=0
∴點T在圓上．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解題．