Question

已知函數f（x）=

1

2

x2-alnx（a∈R），
（Ⅰ）若函數f（x）在（1，+∞）為增函數，求a的取值范圍；
（Ⅱ）討論方程f（x）=0解的個數，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據函數f（x）在（1，+∞）為增函數，我們易得F′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，進而將問題轉化為一個函數恒成立問題，進而求出a的取值范圍；
（Ⅱ）對a進行分類討論：當a=0時，當a＜0時，當a＞0時．把a代入f（x）中確定出f（x）的解析式，然后根據f（x）的解析式求出f（x）的導函數，分別令導函數大于0和小于0得到函數的單調區間，根據函數的增減性得到f（x）的最小值，根據最小值小于0得到函數沒有零點即零點個數為0．

解答：解：（I）若函數f（x）在（1，+∞）上恒成立．則f′（x）=x-

a

x

≥0在（1，+∞）上恒成立，
即：a≤x²在（1，+∞）上恒成立．所以有a≤1．
（II）當a=0時，f（x）在定義域（0，+∞）上恒大于0，此時方程無解；
當a＜0時，f′（x）=x-

a

x

＞0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數．
∵f（1）=

1

2

＞0，f（e

1

a

）=

1

2

e

2

a

 -1＜0，所以方程有惟一解．
當a＞0時，f′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

=

(x- a )(x+ a )

x

因為當x∈(0，

a

)時，f′（x）＞0，f（x）在(0，

a

)內為減函數；
當x∈(

a

，+∞)時，f（x）在(

a

，+∞)內為增函數．
所以當x=

a

時，有極小值即為最小值f（

a

）=

1

2

a-aln

a

=

1

2

a(1-lna)．
當a∈（0，e）時，f（

a

）=

1

2

a(1-lna)＞0，此方程無解；
當a=e時，f（

a

）=

1

2

a(1-lna)=0此方程有惟一解x=

a

．
當a∈（e，+∞）時，f（

a

）=

1

2

a(1-lna)＜0
因為f（1）=

1

2

＞0且1＜

a

，所以方程f（x）=0在區間（0，

a

）上有惟一解，
因為當x＞1時，（x-lnx）′＞0，則函數y=x-lnx在（1，+∞）上單調遞增，
∴x-lnx＞1-ln1=1，即x-lnx＞1，
所以x＞lnx，f（x）=

1

2

x2-alnx＞

1

2

x2-ax，
因為2a＞

a

＞1，所以f（x）＞

1

2

(2a)2-2a2=0，
所以方程f（x）=0在區間（

a

，+∞）上有惟一解．所以方程f（x）=0在區間（e，+∞）上有兩解．
綜上所述：當a∈[0，e）時，方程無解；當a＜0或a=e時，方程有惟一解；
當a＞e時方程有兩解．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數研究函數的單調性，同時考查分類討論的思想，計算能力，屬于難題題．此類題解答的關鍵是學生會根據導函數的正負得到函數的單調區間，會根據函數的增減性得到函數的最值，掌握函數零點的判斷方法，是一道綜合題．