Question

已知函數是f（x）圖象上的兩點，橫坐標為的點P滿足（O為坐標原點）．
（1）求證：y₁+y₂為定值；
（2）若，其中n∈N^*，n≥2令，其中n∈N^*，T_n為數列{a_n}的前n項和，若T_n＜m（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立，試求m的取值范圍．
（3）對于給定的實數a（a＞1）是否存在這樣的數列{a_n}，使得，且？若存在，求出a滿足的條件；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設P點坐標為，由已知可得，則，
∴x₁+x₂=1=
（2）由（1）知當x₁+x₂=1時，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1.，①，②，
∴2S_n=n-1，故
當n≥2時，．
又當n=1時，，所以
故
∵T_n＜m（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立．
∴，而（當且僅當n=2時等號成立）
∴，即m的取值范圍是
（3）假設存在數列{a_n}滿足條件，則，
即，∴是以為首項，-1為公差的等差數列，
于是，∴，注意到
∴當a＞3時，存在這樣的有窮數列{a_n}；當1＜a≤3時，不存在這樣的數列．
分析：（1）設P點坐標為，由已知的向量關系得出x₁+x₂=1，利用對數運算即可求得y₁+y₂為定值；
（2）由（1）知當x₁+x₂=1時，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1．得出，下面對n進行分類討論：當n≥2時，當n=1時，得到：再利用數列求和得出Tn，結合T_n＜m（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立結合基本不等式即可求得m的取值范圍；
（3）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在數列{a_n}滿足條件，再利用等差數列的性質，求出a_n的長，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
點評：本小題主要考查等差數列的應用、數列與不等式的綜合、數列的求和等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．