Question

已知函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，且當x∈（-∞，0），f（x）+xf′（x）＜0成立．若a=（2^0.2）•f（2^0.2），b=（ln2）•f（ln2），c=（log₂

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）•f（log₂

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4

），則a，b，c的大小關系是（　　）

A．a＞b＞c

B．b＞a＞c

C．c＞a＞b

D．a＞c＞b

Answer 1

分析：由y=f（x-1）的圖象關點（1，0）對稱，知f（x）是奇函數；令g（x）=xf（x），得g（x）是偶函數；由x∈（-∞，0）時，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，得函數g（x）在x∈（-∞，0）上單調遞減，從而得g（x）在（0，+∞）上單調遞增；再由-log₂

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4

=2＞2^0.2＞1＞ln2＞0，得a，b，c的大小．

解答：解：∵函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，
∴函數y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，
∴f（x）是奇函數，∴xf（x）是偶函數．
設g（x）=xf（x），當x∈（-∞，0）時，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，
∴函數g（x）在x∈（-∞，0）上單調遞減，
∴函數g（x）在x∈（0，+∞）上單調遞增．
∵-log₂

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=2＞2^0.2＞1＞ln2＞0，∴g（-log₂

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4

）＞g（2^0.2）＞g（ln2）；
又g（-log₂

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4

）=g（log₂

1

4

），即（log₂

1

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）•f（log₂

1

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）＞（2^0.2）•f（2^0.2）＞（ln2）•f（ln2）；
∴c＞a＞b．
故選：C．

點評：本題考查了函數的圖象與奇偶性關系以及用導數研究函數的單調性等知識，解題的關鍵是構造函數g（x）并求導，屬于易出錯的題目．