Question

【題目】如圖，在四邊形中，，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.

（1）證明：平面；

（2）若為的中點，二面角等于60°，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）利用線面垂直的判定定理和性質定理即可證明；

（2）由題意知，，取的中點，連接，易知兩兩垂直，以為原點建立如圖所示的坐標系，設，平面的一個法向量為，求出向量，則向量所成角的余弦值的絕對值即為所求.

（1）證明：因為，

所以平面，

又因為平面，所以.

又因為，

所以平面.

（2）因為，

所以是二面角的平面角，即，

在中，，

取的中點，連接，因為,

所以,由（1）知，平面，為的中位線，

所以，即兩兩垂直，

以為原點建立如圖所示的坐標系，設，則

，

，設平面的一個法向量為，

則由得令，得，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為.