Question

如圖ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，M、N分別是線段AD₁和BD上的中點
（Ⅰ）證明：直線MN∥平面B₁D₁C；
（Ⅱ）設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為a，若以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD₁所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，試寫出B₁、M兩點的坐標，并求線段B₁M的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明：連接CD₁、AC、則N是AC的中點，由三角形中位線證得MN∥CD₁，從而由線面平行的判定定理證得直線MN∥平面B₁D₁C；（Ⅱ）先求得各點的坐標，再由兩點間的距離公式求解．

解答：證明：（Ⅰ）證明：連接CD₁、AC、則N是AC的中點（2分）
在△ACD₁，又M是AD₁的中點
∴MN∥CD₁，又CD₁?平面ACD₁．（3分）∴MN∥平面ADC₁．（5分）
（Ⅱ）B₁（a，a，a），M（

a

2

，0，

a

2

）（8分）|B1M|=

(a- a 2 )2+(a-0)2+(a- a 2 )2

=

6

2

a（10分）

點評：本題主要考查空間線線、線面、面面位置平行關系轉化，空間直角坐標系的概念與運算等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力．