Question

如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，線段B₁D₁上有兩個動點E，F，且EF=

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，則下列結論中錯誤的是

 

．
①AC⊥BE；
②EF∥平面ABCD；
③三棱錐A-BEF的體積為定值；
④異面直線AE，BF所成的角為定值．

Answer 1

分析：通過直線AC垂直平面平面BB₁D₁D，判斷①是正確的；通過直線EF平行直線AB，判斷EF∥平面ABCD②是正確的；計算三角形BEF 的面積和A到平面BEF的距離是定值，說明③是正確的；只需找出兩個特殊位置，即可判斷④是不正確的；綜合可得答案．

解答：解：∵AC⊥平面BB₁D₁D，又BE?平面BB₁D₁D
∴AC⊥BE．故①正確．
∵B₁D₁∥平面ABCD，又E、F在直線D₁B₁上運動，
∴EF∥平面ABCD．故②正確．
③中由于點B到直線B₁D₁的距離不變，故△BEF的面積為定值．
又點A到平面BEF的距離為

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，故V_A-BEF為定值．③正確
當點E在D₁處，F為D₁B₁的中點時，異面直線AE，BF所成的角是∠OD₁A，
當E在上底面的中心時，F在B₁的位置，異面直線AE，BF所成的角是∠OEA，
顯然兩個角不相等，④不正確．
故答案為：④

點評：本題考查直線與平面平行的判定，棱柱、棱錐、棱臺的體積，異面直線及其所成的角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．