Question

（本小題滿分13分）

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設，，是橢圓上關于軸對稱的任意兩個不同的點，連結交橢圓于另一點，證明直線與軸相交于定點；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點的直線與橢圓交于，兩點，求的取值范圍．

 

Answer 1

（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）由題意知，

所以．

即．

又因為，

所以，．

故橢圓的方程為．…………………………………………4分

（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為．

由  得．       ①

…………………………………………6分

設點，，則．

直線的方程為．

令，得．

將，代入，

整理，得．                   ②

由①得 ，代入②

整理，得．

所以直線與軸相交于定點．……………………………………9分

（Ⅲ）當過點直線的斜率存在時，設直線的方程為，且

，在橢圓上．

由  得．    

易知．

所以，， ．

則．

因為，所以．

所以．

當過點直線的斜率不存在時，其方程為．

解得，．

此時．

所以的取值范圍是．……………………………………13分