Question

【題目】已知復數，其中為虛數單位，對于任意復數，有，．

（1）求的值；

（2）若復數滿足，求的取值范圍；

（3）我們把上述關系式看作復平面上表示復數的點和表示復數的點之間的一個變換，問是否存在一條直線，若點在直線上，則點仍然在直線上？如果存在，求出直線的方程，否則，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）存在，直線方程，理由見解析

【解析】

（1）利用復數的模的性質即可得解；

（2）利用復數的幾何意義即可得解；

（3）設，，由，得，① 設存在直線，則直線一定過原點，故設直線的方程為，② ，聯立化簡即可得解.

（1）因為，所以，

故，所以，

又，

故；

（2）由，得復數的軌跡是點，的中垂線，

又,

所以，

即，

故的取值范圍為；

（3）設，，

由，得，①

設存在直線滿足題意，則直線一定過原點，故設直線的方程為，②

由題意知：把①代入②可得，③

把②代入③可得，解得，

故存在直線，其方程為.