Question

【題目】已知函數，且．

（1）求；（2）證明： 存在唯一的極大值點，且．

Answer 1

【答案】（1）a=1;(2)證明過程如解析；

【解析】試題分析：

(1)結合函數的解析式討論函數的 單調性，求得函數的最小值為，據此可得；

(2)由題意構造新函數t（x）=2x-2-lnx，結合函數的特征即可證得題中的結論.

試題解析：

（1）因為f（x）=ax2-ax-xlnx=x（ax-a-lnx）（x＞0），
則f（x）≥0等價于h（x）=ax-a-lnx≥0，求導可知h′（x）= ．
則當a≤0時h′（x）＜0，即y=h（x）在（0，+∞）上單調遞減，
所以當x0＞1時，h（x0）＜h（1）=0，矛盾，故a＞0．
因為當0＜x＜時h′（x）＜0、當x＞時h′（x）＞0，
所以h（x）min=h（），
又因為h（1）=a-a-ln1=0，
所以，解得a=1；
（2）證明：由（1）可知f（x）=x2-x-xlnx，f′（x）=2x-2-lnx，
令f′（x）=0，可得2x-2-lnx=0，記t（x）=2x-2-lnx，則t′（x）=，
令t′（x）=0，解得： ，
所以t（x）在區間（0， ）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增，
所以t（x）min=t（）=ln2-1＜0，從而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在兩根x0，x2，
且不妨設f′（x）在（0，x0）上為正、在（x0，x2）上為負、在（x2，+∞）上為正，
所以f（x）必存在唯一極大值點x0，且2x0-2-lnx0=0，
所以f（x0）=x02-x0-x0lnx0=x02-x0+2x0-2x02=x0-x02，
由x0＜可知f（x0）＜（x0-x02）max=；
由f′（）＜0可知x0＜＜，
所以f（x）在（0，x0）上單調遞增，在（x0， ）上單調遞減，
所以f（x0）＞f（）=；
綜上所述，f（x）存在唯一的極大值點x0，且e-2＜f（x0）＜2-2．