Question

兩條直線分別被三個互相平行的平面所截，求證：被截得的線段成比例．如圖，已知平面α∥β∥γ，直線a分別交α、β、γ于A、B、C，直線b分別交α、β、γ于D、E、F．

求證：AB∶DE＝BC∶EF．

Answer 1

答案：
解析：

解：當a、b共面時，如上圖(1)，設a、b確定的平面為δ， 　　則AD、BE、CF分別為α、β、γ與δ的交線． 　　由α∥β∥γ，知AD∥BE∥CF． 　　由平行截割定理，知AB∶DE＝BC∶EF(當AD、BE、CF中有一條變成一點時，也不影響結果)． 　　當a、b異面時，如上圖(2)，過A作直線c∥b，分別交β、γ于B1、C1． 　　由α∥β，知AB1＝DE． 　　同理B1C1＝EF． 　　設a、c確定的平面為δ，則BB1、CC1分別是δ與β、γ的交線． 　　由β∥γ，知BB1∥CC1． 　　由平行截割定理，知AB∶AB1＝BC∶B1C1． 　　已知AB1＝DE，B1C1＝EF，故AB∶DE＝BC∶EF． 　　方法歸納：空間問題應轉化為平面問題解決，線段成比例一般考慮平行截割定理．此題也可以連結AF，交平面β于M，將其轉化為平面問題解決．

提示：

本命題是由平行截割定理擴展來的，因此想到轉化為平行截割定理去證．由條件知三個平面互相平行，但原題中沒有平面與它們相交，需作出與它們相交的平面．被截的兩直線可能異面，也可能共面，所以需分類討論．