Question

（理）已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n=

1

2

a_n-1+1（n≥2），
（1）求證：數列{a_n-2}是等比數列，并求通項a_n．
（2）求{a_n}前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n=

1

2

a_n-1+1（n≥2），兩邊減去2，得出a_n-2=

1

2

（a_n-1-2），易知數列{a_n-2}是等比數列，通過數列{a_n-2}的通項求出a_n．
（2）由（1）a_n=（-1）•(

1

2

)n-1+2，利用分組即公式法求和．

解答：解：（1）由a_n=

1

2

a_n-1+1（n≥2），兩邊減去2，得出a_n-2=

1

2

（a_n-1-2），
數列{a_n-2}是等比數列，且公比

1

2

，首項為a₁-2=-1，所以數列{a_n-2}的通項公式為
a_n-2=（-1）•(

1

2

)n-1，a_n=（-1）•(

1

2

)n-1+2，
（2）數列{a_n}可以看做等比數列{（-1）•(

1

2

)n-1}與等差數列{n}的和．
所以S_n=-（

1-( 1 2 )n

1- 1 2

）+

n(n+1)

2

=-2+

1

2n-1

+

n(n+1)

2

點評：本題考查數列和通項公式、數列求和，考查轉化計算、推理論證能力．