Question

（理）已知數列{a_n}是等差數列，且a₁=-2，a₁+a₂+a₃=-12．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b₁=0，b_n+1=7b_n+6，n∈N^*，求數列{a_n（b_n+1）}的前n項和T_n的公式．

Answer 1

分析：（1）由等差數列的性質結合已知可得a₂，進而可得公差，可得通項公式；（2）由題意可得b_n+1=7^n-1，可得a_n（b_n+1）=-2n×7^n-1，由錯位相減法求和可得．

解答：解：（1）由等差數列的性質可得a₁+a₂+a₃=3a₂=-12，
故可得a₂=-4，故公差d=-4-（-2）=-2，
故數列{a_n}的通項公式為：a_n=-2-2（n-1）=-2n；
（2）由題意可得b_n+1+1=7b_n+7=7（b_n+1），即

bn+1+1

bn+1

=7，
故數列{b_n+1}是以b₁+1=1為首項，7為公比的等比數列，
故b_n+1=1×7^n-1=7^n-1，故a_n（b_n+1）=-2n×7^n-1，
所以T_n=-2（1×7⁰+2×7¹+3×7²+…+n×7^n-1），①
同乘以7可得：7T_n=-2（1×7¹+2×7²+3×7³+…+n×7ⁿ），②
①-②可得-6T_n=-2（1+7¹+7²+…+7^n-1-n×7ⁿ），
故可得T_n=

1

3

（

1-7n

1-7

-n×7ⁿ）=-

7n(6n-1)+1

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點評：本題考查等差數列的通項公式和錯位相減法求和，屬中檔題．