Question

已知向量

a

=(

3

sinwx，coswx)， 

b

=(coswx，coswx)，（其中w＞0）．設f(x)=

a

•

b

，且f（x）的最小正周期為π．
（1）求w；
（2）若0＜x≤

π

3

，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根據題意并且結合三角的有關公式可得：f（x）=sin(2wx+

π

6

)+

1

2

，再結合周期的計算公式可得答案．
（2）由0＜x≤

π

3

可得

π

6

＜2x+

π

6

≤

5

6

π，再利用正弦函數的性質得到答案．

解答：解：（1）因為f(x)=

a

•

b

，并且

a

=(

3

sinwx，coswx)，

b

=(coswx，coswx)，
所以f(x)=

3

sinwx•coswx+cos2wx=

3

2

sin2wx+

1

2

(1+cos2wx)=sin(2wx+

π

6

)+

1

2

所以結合周期的計算公式可得：T=π=

2π

2w

，即w=1．
（2）由（1）得：f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

∵0＜x≤

π

3

∴

π

6

＜2x+

π

6

≤

5

6

π
∴

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
∴f（x）的值域為[1，

3

2

]．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握平面向量的數量積運算與兩角和的正弦公式、二倍角公式，以及三角函數的周期公式與三角函數的有關性質，此題綜合性較強屬于中檔題型，此類型的題也是高考命題的熱點之一．