Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n+1=S_n+1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=2log₂a_n+1-1，
    ①若數列{

1

bn2bn+12

}的前n項和為Tn，證明Tn＜

1

8

；
    ②求數列{a_nb_n}的前n項和為M_n．

Answer 1

分析：（1）利用n≥2時，a_n=S_n-S_n-1可得數列{a_n}為等比數列，且其首項a₁=1，公比為2，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可得：a_n=2^n-1，將其代入b_n=2log₂a_n+1-1中，再用裂項法求和，即可得出結論；
（3）先求出數列{a_nb_n}的通項，由于該數列的通項是一個等差數列與等比數列的積構成的新數列，利用錯位相減法求出數列的和．

解答：（1）解：∵a_n+1=S_n+1，
∴當n≥2時，a_n=S_n-1+1，
∴a_n+1-a_n=S_n-S_n-1，
∴a_n+1-a_n=a_n，
∴a_n+1=2a_n，
∵a₁=1，
∴數列{a_n}為等比數列，且其首項a₁=1，公比為2，則a_n=2^n-1；
（2）①證明：由（1）可得：a_n=2^n-1，則b_n=2log₂a_n+1-1=2log₂2ⁿ-1=2n-1，即b_n=2n-1．
∴

n

bn2bn+12

=

n

(2n-1)2(2n+1)2

=

1

8

[

1

(2n-1)2

-

1

(2n+1)2

]，
∴T_n=

1

8

[

1

12

-

1

32

+…+

1

(2n-1)2

-

1

(2n+1)2

]=

1

8

[1-

1

(2n+1)2

]＜

1

8

；
②a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1，
∴M_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1，
∴2M_n=1×2+3×2²+5×2³…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
兩式相減得-M_n=1+2（2+2²+2³+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ=1+2•2ⁿ-4-（2n-1）•2ⁿ，
∴M_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等比數列，以及錯位相減法求數列的和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．