Question

（本小題滿分13分）

已知函數，．

（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）求函數的單調區間；

（Ⅲ）當，且時，證明：．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）當時，由，得．當時，，單調遞增；當時，，單調遞減（Ⅲ）見解析

解析:

（Ⅰ）函數的定義域為，

．…………………………………………………………2分

又曲線在點處的切線與直線垂直，

所以，

即．………………………………………………………………………4分

（Ⅱ）由于．

當時，對于，有在定義域上恒成立，

即在上是增函數．

當時，由，得．

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減．……………………………8分

（Ⅲ）當時，   ．

令．

．………………………………10分

當時，，在單調遞減．

又，所以在恒為負．

所以當時，．

即．

故當，且時，成立．………………………………13分