Question

【題目】已知拋物線的方程為C：x2=4y，過點Q（0，2）的一條直線與拋物線C交于A，B兩點，若拋物線在A，B兩點的切線交于點P．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）設直線PQ與直線AB的夾角為α，求α的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由AB直線與拋物線交于兩點可知，直線AB不與x軸垂直，故可設lAB：y=kx+2，

則 ，整理得：x2﹣4ky﹣8=0…①，

△=16k2+32＞0，故k∈R時均滿足題目要求．

設交點坐標為 ，則x1，x2為方程①的兩根，

故由韋達定理可知，x1+x2=4k，x1x2=﹣8．

將拋物線方程轉化為 ，則 ，故A點處的切線方程為 ，

整理得 ，

同理可得，B點處的切線方程為 ，記兩條切線的交點P（xp，yp），

聯立兩條切線的方程，解得點P坐標為 ，

故點P的軌跡方程為y=﹣2，x∈R

（2）

解：當k=0時，xP=0，yP=﹣2，此時直線PQ即為y軸，與直線AB的夾角為 ．

當k≠0時，記直線PQ的斜率 ，

又由于直線AB的斜率為k，且已知直線AB與直線PQ所夾角α∈[0， ]，

tanα=丨 丨=丨 丨= +丨k丨≥2 ，

則a∈[arctan2 ， ）

綜上所述，α的取值范圍是∈[arctan2 ， ]

【解析】（1）將直線AB的方程代入橢圓方程，利用韋達定理及導數的幾何意義，分別求得切線方程，聯立即可求得點P的軌跡方程；（2）分類討論，根據直線斜率與傾斜角的關系，即可求得tanα取值范圍，即可求得α的取值范圍．