Question

【題目】定義在上的函數滿足：對任意的，都有：

（1）求證：函數是奇函數；

（2）若當時，有，求證：在上是減函數；

（3）在（2）的條件下解不等式：;

（4）在（2）的條件下求證：.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析（3）（4）詳見解析

【解析】

（1）令x＝y＝0 可求得f（0）＝0；令y＝﹣x代入可判斷f（x）的奇偶；

（2）設﹣1＜x1＜x2＜1，利用f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2），分析判斷出﹣10，再結合條件即可證明結論；

（3）根據奇偶性與單調性可得不等式組，解之即可；

（4）可得，結合（2）可得結果.

解：（1）令得：

設，則，，即，

函數是奇函數；

（2）設，則，

由知：，且，所以，即，

，又

即，從而，故，即，

即，所以在上是減函數

（3），又由為奇函數，即，

由（2）知在上是減函數，

解得：，故不等式的解集為；

（4）

，

故

由，，

即