Question

【題目】定義：若函數的導函數是奇函數（），則稱函數是“雙奇函數” ．函數．

（1）若函數是“雙奇函數”，求實數的值；

（2）假設．

（i）在（1）的條件下，討論函數的單調性；

（ii）若，討論函數的極值點．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）（i）見解析；（ii）見解析

【解析】

（1）由題意結合“雙奇函數”的定義可知對任意且成立， 據此計算實數a的值即可；

（2）（i）由題意結合(1)的結論可知，．由導函數的符號討論函數的單調性即可；

（ii）由函數的解析式可知當時，．

令，則據此結合函數的單調性討論函數的極值即可.

當時， ，據此分段討論函數的極值的情況即可.

（1）因為，所以．

又因為函數是“雙奇函數”，

所以對任意且成立，

所以，解得．

（2）（i）（，且）．

由（1）求解知，，則，所以．

令，得；令，得，

故函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．

（ii）．

當時，．

令，則（舍去）．

分析知，當時，；當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以的極小值點，不存在極大值點．

當時，

當時，．令，得（舍）．

若，即，則，所以在上單調遞增，函數在區間上不存在極值點；

若，即，則當時，；當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數在區間上存在一個極小值點，不存在極大值點．．

當時，．

令，得，記．

若，即時，，所以在上單調遞減，函數在上不存在極值點；

若，即時，則由，得．

分析知，當時，；當時，；當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，

所以當時，函數存在兩個極值點．

綜上，當時，函數存在兩個極值點，且極小值點，極大值點

；

當時，函數無極值點；

當時，函數的極小值點，無極大值點．