Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足：f（x）=

x2+2，x∈[0，1) 2-x2，x∈[-1，0)

且f（x）=f（x-2），g（x）=

2x-3

x-2

，則方程f（x）=g（x）在區間[-1，5]上的所有實根之和為（　　）

• A、5
• B、6
• C、7
• D、8

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：∵方程f（x）=g（x）在區間[-1，5]上的根就是函數y=f（x）和y=g（x）的交點橫坐標，畫圖觀察即可．

解答： 解：∵f(x)=

x2+2，x∈[0，1) 2-x2，x∈[-1，0]

，
∴y=f（x）關于點（0，2）中心對稱，將函數向右平移2個單位再向右平移2個單位，得到函數y=f（x）在[-1，5]上的圖象，每段曲線不包含右端點（如下圖），
去掉端點后關于（2，2）中心對稱．
又∵g(x)=

2x-3

x-2

=2+

1

x-2

關于（2，2）中心對稱，故方程f（x）=g（x）在區間[-1，5]上的根就是函數y=f（x）和y=g（x）的交點橫坐標，共有三個交點，
自左向右橫坐標分別為x₁，x₂，x₃，其中x₁和x₃關于（2，2）中心對稱，
∴，x₁+x₃=4，x₂=1，
故x₁+x₂+x₃=5
故選：A．

點評：本題考查分段函數，函數平移，零點與方程根的關系，屬于中檔題