Question

已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是BB₁和BC的中點，AB=4，AD=2，B₁D與平面ABCD所成角的大小為60°，求異面直線B₁D與MN所成角的大小（結果用反三角函數值表示）．

Answer 1

分析：先求出高B₁B，再通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點B₁，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角的余弦值，再用方三角函數值表示即可．

解答：解：連接B₁C，由M、N分別是BB₁和BC的中點，得B₁C∥MN，
∴∠DB₁C就是異面直線B₁D與MN所成的角、
連接BD，在Rt△ABD中，可得BD=2

5

，又BB₁⊥平面ABCD，∠B₁DB是B₁D與平面ABCD所成的角，∴∠B₁DB=60°、
在Rt△B₁BD中，B₁B=BDtan60°=2

15

，
又DC⊥平面BB₁C₁C，∴DC⊥B₁C，
在Rt△DB₁C中，tan∠DB₁C=

DC

B1C

=

DC

BC2+B B 2 1

=

1

2

，
∴∠DB₁C=arctan

1

2

、
即異面直線B₁D與MN所成角的大小為arctan

1

2

、

點評：本題主要考查了異面直線及其所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．