Question

已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，下列向量的數量積一定不為0的是（　　）

• A、

  AD1

  •

  B1C

• B、

  BD1

  •

  AC

• C、

  AB

  •

  AD1

• D、

  BD1

  •

  BC

Answer 1

分析：選項A，當四邊形ADD₁A₁為正方形時，可證AD₁∥B₁C，選項B，當四邊形ABCD為正方形時，可證AC⊥BD₁，選項C，由長方體的性質可證AB⊥AD₁，分別可得數量積為0，選項D，可推在△BCD₁中，∠BCD₁為直角，可判BC與BD₁不可能垂直，可得結論．

解答：解：選項A，當四邊形ADD₁A₁為正方形時，可得AD₁⊥A₁D，而A₁D∥B₁C，可得AD₁∥B₁C，此時有

AD1

•

B1C

=0；
選項B，當四邊形ABCD為正方形時，可得AC⊥BD，可得AC⊥平面BB₁D₁D，故有AC⊥BD₁，此時有

BD1

•

AC

=0；
選項C，由長方體的性質可得AB⊥平面ADD₁A₁，可得AB⊥AD₁，此時必有

AB

•

AD1

=0；
選項D，由長方體的性質可得BC⊥平面CDD₁C₁，可得BC⊥CD₁，△BCD₁為直角三角形，∠BCD₁為直角，
故BC與BD₁不可能垂直，即

BD1

•

BC

≠0．
故選：D

點評：本題考查空間向量的數量積，轉化為直線與直線的垂直是解決問題的關鍵，屬中檔題．