Question

(本小題滿分12分)如圖，中心在原點O的橢圓的右焦點為F（3，0），
右準線l的方程為：x = 12。
（1）求橢圓的方程；(4分)
（2）在橢圓上任取三個不同點，使，
證明: 為定值，并求此定值。(8分)
 

 

Answer 1

解：（I）設橢圓方程為．
因焦點為，故半焦距．
又右準線的方程為，從而由已知
，
因此，．
故所求橢圓方程為．
（II）記橢圓的右頂點為，并設（1，2，3），不失一般性，
假設，且，．
又設點在上的射影為，因橢圓的離心率，從而有

 ．
解得 ．
因此
，
而
，
故為定值．

解：（I）設橢圓方程為．
因焦點為，故半焦距．
又右準線的方程為，從而由已知
，
因此，．
故所求橢圓方程為．
（II）記橢圓的右頂點為，并設（1，2，3），不失一般性，
假設，且，．
又設點在上的射影為，因橢圓的離心率，從而有

 ．
解得 ．
因此
，
而
，
故為定值．