Question

已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑為R.

(1)若α=60°,R=10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積.

(2)若扇形的周長是一定值C（C＞0)，問當α為多少弧度時，該扇形的面積有最大值？并求出這個最大值.

Answer 1

思路點撥：本題可以直接根據弧長公式與扇形面積公式進行解答.

解：(1)設弧長為l，弓形面積記作S_弓.

由α=60°=,R=10，得

l=|α|·R= (cm),

S_弓=S_扇形-S_三角形=l·R-R²sinα

=××10-×10²×sin

=50(-)(cm²).

(2)∵扇形周長C=2R+l=2R+|α|·R,

∴R=.

∴S_扇形=|α|·R²=|α|()²=×|α|×≤.

∴當且僅當|α|=時，即α=2(α=-2舍去)時，扇形面積有最大值.

［一通百通］ 此類問題是將三角函數問題與不等式問題進行綜合考查的.扇形面積與弧長的計算是立體幾何中研究折線問題的基礎，在計算扇形的弧長與面積計算公式時都有角度制與弧度制兩種給出方式，其中用弧度制不僅形式易記，而且使用方便，在使用時注意要把角度都換成弧度，使度量單位一致.