Question

有一道解三角形的題目，因紙張破損有一個條件模糊不清，具體如下：“在△ABC中，已知a=

3

，B=

π

4

，

b=

6

（或 c=

3 2+ 6

2

）

，求角A．”經推斷，破損處的條件為三角形一邊的長度，且答案提示A=

π

6

．試在橫線上將條件補充完整．

Answer 1

分析：要把橫線處補全，就要把A的度數作為已知條件求b和c的值，由a，A和B的度數，根據正弦定理求出b的長，再由三角形的內角和定理求出C的度數，由a，b及cosC，利用余弦定理即可求出c的長．

解答：解：由題意可得橫線上將條件為b的值，或為c的值．
①當橫線上將條件為b的值時，由正弦定理可知

a

sinA

=

b

sinB

，
∴b=sinB

a

sinA

=

2

2

×

3

3 2

=

2

．
②當橫線上將條件為c的值時，根據正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

，又a=

3

，sinB=

2

2

，sinA=

3

2

，
所以，b=

3 × 2 2

3 2

=

2

，又C=180°-45°-60°=75°，
所以cos75°=cos（45°+30°）=cos45°cos30°-sin45°sin30°=

6 - 2

4

，
所以c²=a²+b²-2abcosC=3+2-2

6

×

6 - 2

4

=

8+4 3

4

=(

6 + 2

2

)2，
則c=

6 + 2

2

．
故答案為：b=

2

，或 c=

6 + 2

2

．

點評：此題考查學生靈活運用正弦、余弦定理化簡求值，靈活運用兩角和與差的余弦函數公式化簡求值，是一道中檔題．把A的度數看做已知條件求b或c的長度是解本題的基本思路．