Question

已知點P （4，4），圓C： 與橢圓E：的一個公共點為A（3，1），F₁，F₂分別是橢圓的左、右焦點，直線與圓C相切。
（1）求m的值與橢圓E的方程；
（2）設D為直線PF₁與圓C 的切點，在橢圓E上是否存在點Q ，使△PDQ是以PD為底的等腰三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由。

Answer 1

（1）m=1，橢圓E的方程為
（2）在橢圓上存在兩個點Q，使得PDQ是以PD為底的等邊三角形

解：（1）∵點A(3,1)在圓上，∴（3-m）²+1="5" 又m<3   ∴m="1" ┉┉2分
設F₁(-c,0),∵P(4,4) 直線PF₁方程為4x-(4+c)y+4c="0   " ---------3分
直線PF₁與圓C相切， c=4.――――－4分
由得橢圓E的方程為――――――――6分
（2）直線PF₁方程為4x-8y+16=0，即x-2y+4=0
由得切點D（0，2）―――――7分
又P(4,4), 線段PD中點為M（2，3）―――――8分
又橢圓右焦點為F₂(4,0), ―――10分
,線段PD垂直平分線的斜率為－2 ―――――――11分
，線段PD的垂直平分線與橢圓有兩個交點――――13分
在橢圓上存在兩個點Q，使得PDQ是以PD為底的等邊三角形―――14分
（或與過點M的橢圓右側切線斜率比較說明；或用判別式）