Question

已知點H（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

．
①當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；
②過點R（2，1）作直線l與軌跡C交于A，B兩點，使得R恰好為弦AB的中點，求直線l的方程．

Answer 1

分析：①設點M（x，y），由

PM

=-

3

2

MQ

，得P(0，-

y

2

)，Q(

x

3

，0)，由

HP

•

PM

=0，得(3，-

y

2

)•(x，

3y

2

)=0，所以y²=4x．由此能求出點M的軌跡C．
②方法一：
設直線l：y=k（x-2）+1，其中k≠0，代入y²=4x，整理得k²x²-（4k²-2k+4）x+（2k-1）²=0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

4k2-2k+4

k2

，由

4k2-2k+4

k2

=4，解得：k=2．由此能求出直線l的方程為．
方法二：
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x2，兩式相減 得：

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

．因為R（2，1）為弦AB的中點，所以y₁+y₂=2，由此能求出直線l的方程．

解答：解：①設點M（x，y），由

PM

=-

3

2

MQ

，得P(0，-

y

2

)，Q(

x

3

，0)，
由

HP

•

PM

=0，得(3，-

y

2

)•(x，

3y

2

)=0，所以y²=4x．
又點Q在x軸的正半軸上，得x＞0．
所以，動點M的軌跡C是以（0，0）為頂點，以（1，0）為焦點的拋物線，除去原點．
②方法一：設直線l：y=k（x-2）+1，其中k≠0，代入y²=4x，
整理得k²x²-（4k²-2k+4）x+（2k-1）²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

4k2-2k+4

k2

，
由

4k2-2k+4

k2

=4，解得：k=2．
所以，直線l的方程為y=2（x-2）+1，
即：y=2x-3．
方法二：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x2，
兩式相減 得：

y

2 1

-

y

2 2

=4(x1-x2)．
整理得：

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

，
因為R（2，1）為弦AB的中點，
所以y₁+y₂=2，
代入上式得

y1-y2

x1-x2

=2，即k_AB=2．
所以，直線l的方程為y=2（x-2）+1，
即：y=2x-3

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．