Question

已知點H（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

．
（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；
（2）過點（1，0）作直線L交軌跡C于A、B兩點，已知

AF

=2

FB

，求直線L的方程．

Answer 1

分析：（1）設出M的坐標，利用題意向量的關系，求得x和y的關系，進而求得M的軌跡C．
（2）設出A，B的坐標，利用知

AF

=2

FB

，求出A，B的坐標，即可求直線L的方程

解答：解：（1）設點M的坐標為（x，y），
由

PM

=-

3

2

MQ

得P（0，-

y

2

），Q（

x

3

，0），
由

HP

•

PM

=0得（3，-

y

2

）•（x，

3y

2

）=0，
所以y²=4x由點Q在x軸的正半軸上，得x＞0，
所以，動點M的軌跡C是以（0，0）為頂點，以（1，0）為焦點的拋物線，除去原點；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
∵

AF

=2

FB

，∴（1-x₁，-y₁）=2（x₂-1，y₂），
∴x₁+2x₂=3，y₁=-2y₂，
∵y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
∴x₁=2，y₁=±2

2

∴直線L的方程為y=±2

2

（x-1）．

點評：本題以向量得數(shù)量積得坐標表示為載體考查了軌跡方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．