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設函數．f（x）=x（

）^x+

x+1

，A₀為坐標原點，A_n為函數y=f（x0I圖象上橫坐標為n（n∈N^*）的點，向量

k=1

Ak-1Ak

，向量

=（1，0），設θ_n為向量

與向量

的夾角，則θ₁=

，滿足

k=1

tanθ_k＜

的最大整數n是

．

分析：先確定點A_n=（n，f（n）），再確定

，然后明確夾角θ_n，進一步表示出tanθ_n，最后可由列舉法求出滿足要求的最大整數n．

解答：解：由題意知A_n=（n，f（n）），

A0An

，
則θ_n為直線A₀A_n的傾斜角，所以tanθ_n=

f(n)

)n+

n(n+1)

，
所以tanθ₁=

=1，θ₁=

tanθ₂=

，tanθ₃=

，tanθ₄=

．
則有 1+

＜

139

，
故滿足要求的最大整數n是3．
故答案為：

；3．

點評：本題考查數列與向量的綜合應用，解答關鍵是向量的夾角公式的運算及正切函數的定義．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數y=f（x）定義在R上，對于任意實數m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且當x＞0時，0＜f（x）＜1
（1）求證：f（0）=1且當x＜0時，f（x）＞1
（2）求證：f（x）在R上是減函數；
（3）設集合A=（x，y）|f（-x²+6x-1）•f（y）=1，B=（x，y）|y=a，
且A∩B=∅，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數y=f（x）與函數g（x）的圖象關于x=3對稱，則g（x）的表達式為（　　）

A、g(x)=f(

-x)

B、g（x）=f（3-x）

C、g（x）=f（-3-x）

D、g（x）=f（6-x）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•黃埔區一模）對于函數y=f（x）與常數a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數f（x）的一個“P數對”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數f（x）的一個“類P數對”．設函數f（x）的定義域為R⁺，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一個“P數對”，求f（2ⁿ）（n∈N*）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一個“P數對”，且當x∈[1，2）時f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在區間[1，2ⁿ）（n∈N*）上的最大值與最小值；
（3）若f（x）是增函數，且（2，-2）是f（x）的一個“類P數對”，試比較下列各組中兩個式子的大小，并說明理由．
①f（2^-n）與2^-n+2（n∈N*）；
②f（x）與2x+2（x∈（0，1]）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）的定義域為R，若存在常數M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數都成立，則稱函數f（x）為“倍約束函數”．給出下列函數，其中是“倍約束函數”的為（　　）

A．f（x）=2

B．f（x）=

x?2x，x≤0

f(x-1)，x＞0

C．f（x）=x²

D．f（x）是定義在R上的奇函數，且滿足對一切實數x₁，x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|成立

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•順義區二模）對于定義域分別為M，N的函數y=f（x），y=g（x），規定：
函數h(x)=

f(x)•g(x)，當x∈M且x∈N

f(x)，當x∈M且x∉N

g(x)，當x∉M且x∈N

（1）若函數f(x)=

x+1

，g(x)=x2+2x+2，x∈R，求函數h（x）的取值集合；
（2）若f（x）=1，g（x）=x²+2x+2，設b_n為曲線y=h（x）在點（a_n，h（a_n））處切線的斜率；而{a_n}是等差數列，公差為1（n∈N^*），點P₁為直線l：2x-y+2=0與x軸的交點，點P_n的坐標為（a_n，b_n）．求證：

|P1P2|2

|P1P3|2

+…+

|P1Pn|2

＜

；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常數，且α∈[0，2π]，請問，是否存在一個定義域為R的函數y=f（x）及一個α的值，使得h（x）=cosx，若存在請寫出一個f（x）的解析式及一個α的值，若不存在請說明理由．

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