Question

某示范性高中的校長推薦甲、乙、丙三名學生參加某大學自主招生考核測試，在本次考核中只有合格和優(yōu)秀兩個等級．若考核為合格，授予10分降分資格；考核為優(yōu)秀， 授予20分降分資格．假設甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為、、，他們考核所得的等級相互獨立．
(1)求在這次考核中，甲、乙、丙三名學生至少有一名考核為優(yōu)秀的概率；
(2)記在這次考核中甲、乙、丙三名學生所得降分之和為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

(1)記“甲考核為優(yōu)秀”為事件A，“乙考核為優(yōu)秀”為事件B，“丙考核為優(yōu)秀”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核為優(yōu)秀”為事件E.
則事件A、B、C是相互獨立事件，事件與事件E是對立事件，于是
P(E)＝1－P()＝1－(1－)(1－)(1－)＝.
(2)ξ的所有可能取值為30,40,50,60.
P(ξ＝30)＝P()＝(1－)(1－)(1－)＝，
P(ξ＝40)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝，
P(ξ＝50)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝，
P(ξ＝60)＝P(ABC)＝.
所以ξ的分布列為

ξ	30	40	50	60
P

 
∴E(ξ)＝30×＋40×＋50×＋60×＝.