Question

（滿分14分）隨機將這2n個連續正整數分成A,B兩組，每組n個數，A組最小數為，最大數為；B組最小數為，最大數為，記
（1）當時，求的分布列和數學期望；
（2）令C表示事件與的取值恰好相等，求事件C發生的概率；
（3）對（2）中的事件C,表示C的對立事件，判斷和的大小關系，并說明理由。

Answer 1

（1）

	2	3	4	5
P

（2）當時，，當時
（3）當時，當時，

試題分析：（1）當時，將6個正整數平均分成A,B兩組，不同的分組方法共有種，所有可能值為2,3,4,5.對應組數分別為4,6,6,4，對應概率為，，，，（2）和恰好相等的所有可能值為當和恰好相等且等于時，不同的分組方法有2種；當和恰好相等且等于時，不同的分組方法有2種；當和恰好相等且等于時，不同的分組方法有2種；當和恰好相等且等于時，不同的分組方法有2種；以此類推：和恰好相等且等于時，不同的分組方法有2種；所以當時，
當時（3）先歸納：當時，因此當時，即證當時，這可用數學歸納法證明. 當時，，利用階乘作差可得大小.
試題解析：（1）當時，所有可能值為2,3,4,5.將6個正整數平均分成A,B兩組，不同的分組方法共有種，所以的分布列為

	2	3	4	5
P

（2）和恰好相等的所有可能值為
又和恰好相等且等于時，不同的分組方法有2種；
和恰好相等且等于時，不同的分組方法有2種；
和恰好相等且等于時，不同的分組方法有2種；
所以當時，
當時
（3）由（2）當時，因此
而當時，理由如下：
等價于①
用數學歸納法來證明：
當時，①式左邊①式右邊所以①式成立
假設時①式成立，即成立
那么，當時，①式左邊

=①式右邊
即當時①式也成立
綜合得，對于的所有正整數，都有成立