Question

已知直線l：x-y+3=0，一束光線從點A（1，2）處射向x軸上一點B，又從B點反射到l上一點C，最后又從C點反射回A點．
（Ⅰ）試判斷由此得到的△ABC是有限個還是無限個？
（Ⅱ）依你的判斷，認為是無限個時求出所以這樣的△ABC的面積中的最小值；認為是有限個時求出這樣的線段BC的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設出B點坐標（m，0），根據對稱點的特點得到A′和B′的坐標，表示出直線A′B的方程與直線l聯立求出點C的橫坐標，同理表示出直線AB′的方程與直線l聯立求出點C的橫坐標，兩個相等求出m的值，經過判斷得到三角形ABC的個數；
（Ⅱ）由m的值得到B和C的坐標，求出斜率，即可寫出直線的方程．

解答：解：（Ⅰ）如圖所示，
設B（m，0），點A關于x軸的對稱點為A′（1，-2），點B關于直線l的對稱點為B′（-3，m+3），根據光學性質，點C在直線A′B上，又在直線AB′上．
求得直線A′B的方程為y=

2

m-1

(x-m)，
由

y= 2 m-1 (x-m) y=x+3

解得xc=

3-5m

m-3

直線AB′的方程為y-2=

-m-1

4

(x-1)
由

y-2= -m-1 4 (x-1) y=x+3

解得xc=

m-3

m+5

，
則

3-5m

m-3

=

m-3

m+5

，得3m²+8m-3=0解得m=

1

3

或m=-3．
而當m=-3時，點B在直線l上，不能構成三角形，故這樣的三角形只有一個．
（Ⅱ）當m=

1

3

時，B(

1

3

，0)， C(-

1

2

，

5

2

)，
∴線段BC的方程為3x+y-1=0(-

1

2

≤x≤

1

3

)．

點評：考查學生會求兩條直線的交點坐標，會求點關于直線的對稱點的坐標，會根據條件寫出直線的一般方程．