Question

設F₁，F₂為橢圓

x2

9

+

y2

4

=1的兩個焦點，P為橢圓上的一點，已知P，F₁，F₂是一個直角三角形的三個頂點，且|PF₁|＞|PF₂|，求

|PF1|

|PF2|

的值．

Answer 1

分析：當PF₂⊥x軸時，求出P的縱坐標，即得|PF₂|的值，由橢圓的定義求得|PF₁|，進而求得

|PF1|

|PF2|

  的值．
當PF₁⊥PF₂ 時，設|PF₂|=m，由橢圓的定義求得|PF₁|，由勾股定理可解得m，進而求得

|PF1|

|PF2|

  的值．

解答：解：由題意得 a=3，b=2，c=

5

，F₁（-

5

，0），F₂ （

5

，0）．
當PF₂⊥x軸時，P的橫坐標為

5

，其縱坐標為±

4

3

，∴

|PF1|

|PF2|

=

2a- 4 3

4 3

=

6- 4 3

4 3

=

7

2

．
當PF₁⊥PF₂ 時，設|PF₂|=m，則|PF₁|=2a-m=6-m，3＞m＞0，由勾股定理可得
4c²=m²+（6-m）²，即  20=2 m²-12 m+36，解得 m=2 或 m=4（舍去），
故 

|PF1|

|PF2|

=

6-2

2

=2．
綜上，

|PF1|

|PF2|

的值等于

7

2

 或2．

點評：本題考查橢圓的定義和標準方程，以及橢圓的簡單性質的應用，體現了分類討論的數學思想，注意考慮
PF₂⊥x軸時的情況．